9.2. Случайные потоки, платежей
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Такие потоки могут быть весьма разнообразны: 1) полностью детерминированный поток – моменты платежей и величины платежей полностью определены; 2) частично детерминированный поток – полностью определены моменты платежей либо величины платежей и т.д. Ограничимся рассмотрением двух примеров. Пример 1. По договору в течение 5 лет в конце каждого квартала издательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000 до 1400 руб. Как найти современную величину этой ренты? Решение. Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их математических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то ее математическое ожидание есть середина промежутка распределения, т.е. 1200 руб. Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов i=3%, тогда искомая современная величина равна 1200–a(20,3)=1200–14,877=17852 руб. Пример 2. Предположим, что единичные платежи следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по показательному закону с параметром λ>0 (пуассоновский поток платежей). Найдем современную величину такого случайного потока платежей (точнее, математическое ожидание этой величины). Дисконтируем к современному моменту первый платеж. Для этого надо подсчитать интеграл  Вспомним, что параметр λ в показательном законе есть обратная величина к математическому ожиданию, и получаем, что λ=1/T, где Т – среднее время между платежами, и окончательно, что математическое ожидание современной величины первого платежа равно 1/[1+T–ln(1+i)]. Поскольку промежуток времени между платежами распределен одинаково, то математическое ожидание современной величины второго платежа равно 1/[1+T– ln(1+i)]2, третьего – 1/[1+T–ln(1+i)]3 и т.д. Сумма всех этих величин и даст искомую величину. Поскольку 1/[1+T–ln(1+i)]<1, то члены суммы есть члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии и, значит, вся сумма равна 1/[1+T–ln(1+i)]. В частности, при Т=1 получаем, 1/ln(1+i). Заметим, что если бы поток был неслучайным и платежи следовали бы друг за другом через единичный промежуток времени (тогда частота платежей была бы той же самой), то современная величина такого потока была бы 1/i. Так как ln(1+i)<i, то современная величина случайной ренты больше, чем регулярной. Потоки платежей со случайным временем платежа часто встречаются на практике. Например, таков поток платежей оплаты за квартиру – ведь редко кто платит за квартиру в строго определенный день. Если бы в примере 1 издательство переводило автору деньги за каждую проданную тысячу экземпляров книги, то получился бы поток неслучайных платежей в случайные моменты времени. Еще одним важным примером случайного потока (неслучайных) платежей является поток выплат страховых сумм на случай смерти родственникам умершего. Анализом подобных потоков платежей занимается так называемая актуарная математика. |
|
