ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптимальные по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при λ=1/2) в условиях полной неопределенности. Проверьте компьютерные расчеты.

2. С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптимальные по критериям максимальной эффективности и минимального риска в условиях частичной неопределённости. Проверьте компьютерные расчёты.

3. Рассмотрим рискованную операцию Qс исходами q1,…,qn. Построим для нее вектор Rс компонентами r1,…,rn, где rj==max {qi: i=1,…,n}–qj и назовем этот вектор вектором рисков. Если операция вероятностная, т.е. у исходов есть вероятности, то можно определить средний риск операции и т.д.
4. Для матрицы из примера 2 § 10.2 примените правило Лапласа равновозможности и найдите решения, наилучшие по среднему ожидаемому доходу и по среднему ожидаемому риску.
5. Элемент матрицы называется седловой точкой в ней, если он минимален в своей строке и максимален в своем столбце. Докажите, что при наличии в матрице доходов седловой точки критерий Вальда рекомендует решение-строку, в которой находится седловая точка.
6. Рассмотрим схему принятия решений или связанную группу операций с матрицей доходов Q. Говорят, что i-е решение (операция) доминирует по доходам k-е решение (операцию), если qij≥qkj для любого j=1,…,n. Доминирование решений по риску определяется аналогично, но с заменой неравенства на противоположное. Докажите, что доминирование по доходам эквивалентно доминированию по риску. Выведите отсюда, что доминируемое в рассматриваемом смысле решение не может быть рекомендовано ни одним из рассмотренных выше правил–критериев. Поэтому такое решение не должно рассматриваться вообще и соответствующая строка подлежит удалению из матрицы доходов.
7. Представим, что множество операций А из § 10.5 изображено на рис. 10.2. Найдите множество Парето. Докажите, что операция Т оптимальна по Парето, если построенный в ней «уголок» – второй квадрант с вершиной в ней, пересекается с множеством А только по этой точке–операции.

8. Обратимся к рис. 10.2. Соединим две точки – операции А, В - отрезком. Каждую точку Fна этом отрезке можно задать числом 0≤f≤1, так что F=fA+(1– f)B. Характеристики операции Fполучаются так же, как линейные комбинации соответствующих характеристик операций А, В. Присоединим все операции отрезка к изображенным на рис. 10.2.
Докажите, что если обе операции A, В доминируемые по Парето, то и все операции отрезка А, В тоже доминируемы. Может ли так быть, что сами операции А,В недоминируемые, а все внутренние точки отрезка А,В доминируемые?