14.4. Еще один подход к ценообразованию опционов
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Как выше уже доказано, при биномиальной модели (см. § 13.1) цена актива к концу n-го промежутка есть биномиально распределенная величина, которую можно представить в виде Sn=S0+x1+…+xn случайные величины xi, i=1…n, независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие два значения 1,–1 с вероятностями 1/2 каждое. Пусть цена исполнения опциона равна S0, т.е. равна рыночной, цене актива в настоящий момент 0. При этом предполагается, что S0>n. Доход держателя опциона при исполнении опциона есть Cn=max{0, Sn–S0}=max{0,x1+…+xn} Ограничимся, как ив предыдущем параграфе, только одним периодом, тогда C1=max{0,x1}. Понятно, что С - случайная величина. Так как торговля опционами носит массовый характер, то при определении их цены можно использовать средние числа. В частности, средний ожидаемый доход держателя опциона от одного опциона на покупку есть математическое ожидание случайной величины С1, которое можно определить как математическое ожидание случайной величины max{0, x1}, т.е. C1=M[max{0,x1}]. Докажем, что это и есть «справедливая» цена опциона. При этом для упрощения примем, что безрисковая ставка равна 0. «Справедливость» цены означает, что продавец опциона сумеет обеспечить исполнение опциона и не более, т.е. никакой прибыли на выписке опциона он не заработает. Далее опустим индекс у С1 и x1. Докажем, что С=1/2. Проще всего найти С, мысленно произведя над случайной величиной х большое число опытов, скажем, 100. При этом в 50 опытах х примет значение 1 и потому M[max{0,x}]=1/2. Теперь покажем, как продавец опциона может распорядиться этой суммой, чтобы обеспечить исполнение опциона. Он берет в банке заем величиной S0/2–1/2, добавляет к этой сумме вырученную за продажу опциона 1/2 д.е. и на сумму S0/2 покупает половину единицы актива. Итак, сейчас у него имеется единица актива и портфель, состоящий из долга банку, актива стоимостью S0/2 и еще обязательства обеспечить исполнение опциона. Убедимся, что этот портфель безрисковый стоимостью 0. В самом деле, если к моменту, исполнения опциона цена актива увеличится на 1 д.е., то стоимость актива в портфеле увеличится до ½*(S0+1), из этой суммы 1 д.е, пойдет держателю опциона, а остальное, т.е., S0/2–½, – на погашение займа у банка. Если же цена актива упадет на 1 д.е., то держателю опциона ничего не надо платить, а актив портфеля будет продан за ½*(S0–1) – это неточности долг банку. Докажем далее, что опцион не может стоить меньше чем С, в данном случае не может стоить меньше чем 1/2, ибо если он меньше 1/2, то это не позволит продавцу опциона обеспечить исполнение опциона, что означало бы крах всей опционной торговли. В самом деле, если бы опцион стоил меньше и при этом продавец как-то умудрялся обеспечивать исполнение опционов, то покупатель опциона имел бы строго положительный доход. Это позволило бы ему сговориться с продавцом опциона и они вместе бы построили «денежную машину»: продавец без конца выписывал бы опционы, покупатель их покупал, а этот строго положительный доход они бы делили, т.е. производили бы деньги из ничего. Но это невозможно. В заключение остановимся на стоимости опциона в конце не одного расчетного периода, а многопериодного промежутка. Тогда Cn=M[max{0,x1+…xn}] (цена исполнения по-прежнему равна цене на момент продажи опциона). При n>10 согласно центральной предельной теореме сумма x1+…xn распределена приближенно по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 0, дисперсия равна n. Следовательно, искомое математическое ожидание M[max{0,x1+…xn}] равно  Итак, для многопериодного расчетного промежутка стоимость опциона на покупку равна  |
|
