При наращении сложных процентов по ставке i каждая следующая сумма возрастает на долю i от предыдущей. Таким образом, к концу единичного промежутка начисления сумма Р возрастет на долю i и станет P1=P+iP=P(1+i), к концу 2-го промежутка начисления эта сумма, возрастет еще на долю i от P1 и станет P2=P1+iP1=P(1+i)+iP(1+i)=P(1+i)2 и т.д. К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма станет Pn=Р(1+i)n. Таким образом, последовательность наращенных сумм P, P1,…, Pn есть геометрическая прогрессия с начальным членом Pи знаменателем прогрессии (1+i).
Пример 3.
Пусть P=1000, i=10%, т.е. доля i=0,1. Следовательно, наращенные по сложным процентам суммы таковы:
1000,1000+0,1* 1000=1000+100=1100, 1100+0,1*1100=1210, 1210+0,1*1210=1331,1
и т.д.
Пример 4.
Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Решение: Надо решить неравенство: (1+0,08)n≥2. Логарифмируем по основанию натуральных логарифмов и получаем n≥ln(2)/ln(1,08). Ответ: через 9 лет.
Из этого примера видно, что вычисления со сложными процентами более сложные, чем с простыми. Для занятий по финансовой математике
необходимо иметь хороший калькулятор (достаточно, чтобы можно было возводить любое положительное число в любую степень).
Формула наращения сложных процентов Pn=Р(1+i)n, выведенная для целых положительных п, может применяться и для нецелых t.
Сумма Р, наращенная по ставке i сложных процентов, через tпромежутков начисления станет Pt=Р(1+i)t.
Пример 5.
13 января в банк положили сумму 1000 до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?
Решение: Воспользуемся формулой наращения сложных процентов Pt=Р(1+i)t. Но как вычислить t? Надо признать, что однозначного ответа в этой ситуации нет. Изберем самый простой вариант: будем считать, что в году 360 дней, в квартале — 90, в одном месяце — 30 и т.д. (учтем, что в году есть несколько праздничных дней и т.д.). Тогда t=(30*7+17)/360 и искомая сумма есть 1074.
При работе со сложными процентами иногда для приближенного оценивания полезно следующее правило.
Правило 72.
Если процентная ставка есть α, то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72 α лет.
Например, согласно этому правилу при ставке 8%, удвоение капитала происходит за 24 года.
Это правило применяется для небольших ставок.